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解答：
1、 泰勒公式拉格朗日余项公式
2、 余数rn (x)=[f (n () * (x-x (n)/(n！在x和x之间；
3、 带钢琴余数的泰勒公式：余数rn (x Rn(x)=o[(x-x ^n]]].
4、 泰勒公式是利用函数在某一点的信息来描述其附近值的公式。如果函数满足一定条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值作为系数，构造一个多项式来近似表示函数。
5、 泰勒展开式e x=lim (x/n) n。
6、 泰勒公式是利用函数在某一点的信息来描述其附近的值的公式。从微积分的泰勒定理可知，如果函数足够光滑，泰勒公式可以用这些导数值作为系数，构造一个多项式来逼近函数在这一点的邻域内的值，给定函数在某一点的已知导数值。
7、 泰勒公式是用关于(x-x)的n次多项式逼近函数f(x)在x=x处的n次导数的方法。
8、 泰勒公式形式上并不复杂，但它的由来却比较奇怪。几乎所有的教材都直接给出这个公式，然后证明相应的结论。泰勒级数表示具有无限连续加法的函数，即级数。这些附加项是从函数在某一点的导数得到的。
9、 补充
10、 在数学中，泰勒公式是利用函数在某一点的信息来描述其附近的值的公式。如果函数足够光滑，在已知函数各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构造一个多项式来逼近函数在某一点的邻域内的值。泰勒公式也给出了这个多项式与实际函数值的偏差。
11、 泰勒公式以英国数学家布鲁克泰勒的名字命名。他在一封信中首次描述了这个公式，尽管詹姆斯格雷高瑞已经发现了它的特例。在拉格朗日之前，首先提出了具有现在形式的余数的泰勒定理。
12、 希腊哲学家芝诺在考虑用无穷级数求和得到有限结果的问题时，得出了一个不可能的结论——芝诺悖论。在这些悖论中，最著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞箭不动”。
13、 后来亚里士多德从哲学上驳斥了芝诺悖论，这部分数学内容直到德谟克利特和后来的阿基米德才解决。阿基米德用穷举法把一个无穷级数逐步细分，结果有限。
14、 20世纪，Madava发现了一些特殊的函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。
15、 吉、詹姆斯格雷也继续了这一研究，并出版了几部麦克劳林丛书。直到英国牛顿学派最优秀的代表之一的数学家泰勒提出了一个普遍的方法，这个方法就是众所周知的泰勒级数。爱丁堡大学的科林麦克劳林教授发现了泰勒级数的一个特例，称为麦克劳林级数。
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